La démocratie est une institution à laquelle la plupart des gens se disent volontiers très attachés.

Pressés de dire pourquoi, certains répondront que la démocratie fait en sorte que les choix et les préférences des individus sont tous également pris en compte, avant d’être comptabilisés de manière impartiale afin de produire un choix collectif donné, dont on voudra dire qu’il est politiquement juste puisqu’il reflète ou traduit ces préférences.

Une telle réponse met l’accent sur un aspect procédural de la démocratie et cette réponse ne satisfait pas tout le monde. D’autres argueront en effet que cet argument est insuffisant, puisqu’un choix obtenu selon cette procédure peut néanmoins fort bien être un mauvais choix — d’aucuns, comme Platon, suggérant même que ce sera très vraisemblablement, voire nécessairement le cas. Mais laissons là ce débat et convenons que cet argument procédural et cher à bien des gens exprime une raison valable d’un profond attachement à la démocratie.

En ce cas, comment, précisément, parvient-on de la sorte à passer des choix individuels à ce choix collectif qu’on déclare démocratique?

Cette question et de nombreuses autres qui s’y rattachent sont centrales pour un champ d’études désormais florissant appelé théorie des choix sociaux. Il est situé à la frontière de nombreuses disciplines comme les mathématiques, l’économie, la politique et la philosophie et on y étudie justement, entre autres choses, les règles par lesquelles est réalisée l’agrégation des choix individuels de manière à produire un ou des choix collectifs.

Avant d’étudier la théorie des choix sociaux, on ne soupçonne pas à quel point cette agrégation peut être problématique. Nous le verrons ici en exposant d’abord un fameux paradoxe dû à Condorcet, qui est un des précurseurs de la théorie des choix sociaux.
Au XXe siècle, ce résultat a été généralisé par l’économiste et mathématicien Kenneth Arrow en un célèbre théorème qui porte désormais son nom. Nous rappellerons très brièvement les grandes lignes de ses conclusions, avant de montrer, sur un exemple précis, comment, conformément à ce que démontre Arrow, il est possible que des manières différentes mais raisonnables de procéder à l’agrégation des choix individuels génère des choix collectifs différents, voire incompatibles.

Le paradoxe de Condorcet

Marie Jean Antoine Caritat, Marquis de Condorcet (1743-1794) était le plus jeune des Philosophes et il sera le seul d'entre eux à prendre part, activement — et ce sera très activement — à la Révolution Française.

Condorcet a été philosophe, théoricien de l’éducation, révolutionnaire et cette débordante activité a parfois fait oublier qu’il a d'abord dû sa notoriété à un Essai sur le calcul intégral publié en 1765.

Chez Condorcet, le mathématicien n’est jamais bien loin du révolutionnaire ou du philosophe et c’est ainsi qu’il imaginera une «mathématique sociale» qui applique l’outil mathématique à la résolution de problèmes sociaux ou politiques. Le fameux paradoxe qui porte son nom est apparu dans le cadre de ces travaux.

Notons d’abord que personne ne nie que le choix collectif exprime de manière claire et indubitable les choix individuels quand il s’agit, pour un groupe de personnes, de choisir entre deux options — c’est le cas d’un référendum où on répond par oui ou par non, ou encore d’une élection dans laquelle il s’agit de choisir entre deux candidats.
Les ennuis commencent, comme le remarque Condorcet, quand il y a plus de deux options.

Voici comment cela peut se produire.

Imaginons qu'un comité de sélection composé de trois personnes : A, B, et C, ait à choisir un candidat parmi trois postulants : x, y, et z.
Les choix de chacun sont ordonnés et sont les suivants:

VOTANTS ORDRE DE PRÉFÉRENCE
A x, y, z
B y, z, x
C z, x, y

Examinons attentivement ce résultat.

Dans deux cas sur trois, x bat y.

Dans deux cas sur trois, y bat z : en d'autres termes, x bat donc y, qui lui-même bat z.

Or, dans deux cas sur trois également, z bat x!

Le principe de transitivité (qui nous permet de dire, par exemple, que si l'ensemble x est plus grand que l'ensemble y et cet ensemble y plus grand que l'ensemble z, alors, nécessairement, l'ensemble x est plus grand que l'ensemble z) n'est pas respecté et il y a là quelque chose de profondément troublant.

Condorcet, comme bien d’autres après lui, va donc chercher à définir un mode de scrutin qui garantisse que le paradoxe ne se produise pas et qui permette donc de toujours et sans contradiction ou ambigüité possibles agréger les choix individuels en choix collectifs démocratiques et justes qui les expriment.

Le théorème d’impossibilité d’Arrow

Ce que démontre le théorème d’impossibilité d’Arrow, formulé en 1951 par Kenneth Arrow (1921) et qui lui a valu le prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel en 1972, c’est qu’un tel mode de scrutin ne peut pas exister.

Plus précisément, en considérant les cas où nous avons au moins 3 options parmi lesquelles deux individus et plus doivent choisir, Arrow montre qu’il n’existe pas de fonction de choix social satisfaisant les quatre conditions suivantes, que je me contenterai ici d’énumérer : universalité; non-dictature; unanimité; et indifférence des options non-pertinentes. Ce qu’il importe surtout de comprendre, c’est qu’Arrow ne dit pas que nous n’avons pas encore fait preuve d’assez d’ingénuité pour élaborer un tel mode de scrutin : plus radicalement, il démontre mathématiquement qu’un tel mode de scrutin ne peut pas exister, du moins dès lors qu’on admet ces conditions et contraintes qu’il semble impossible de lui refuser.

Le théorème est difficile à démontrer; mais le genre de problèmes dont Arrow démontre qu’on ne peut garantir qu’ils ne surviendront pas pourra être illustré par l’exemple qui suit, où divers mode de scrutin déclarent tour à tour vainqueurs les différents candidats.


Un exemple

Nous supposerons une élection où s’affrontent cinq candidats. Les électeurs se sont prononcés en exprimant leurs préférences comme suit :

18 personnes préfèrent A à D à E à C à B
12 personnes préfèrent B à E à D à C à A
10 personnes préfèrent C à B à E à D à A
9 personnes préfèrent D à C à E à B à A
4 personnes préfèrent E à B à D à C à A
2 personnes préfèrent E à C à D à B à A

Supposons que vous favorisez le candidat A.

En ce cas, vous souhaiterez que l’élection se fasse à la pluralité des voix, qui comptabilise les votes de première position : cette méthode donne la victoire à la personne qui en a recueilli le plus. Avec cette méthode, dans le cas que nous examinons, A l’emporte avec ses 18 votes.


Mais supposons que vous favorisez le candidat B.

En ce cas, vous souhaiterez qu’on retienne les deux candidats qui ont obtenu le plus de votes de première place et qu’on détermine le gagnant en procédant à un deuxième tour avec ces deux-là comme seuls candidats. Ici, ce nouveau vote opposera A (avec ses 18 votes de première positon) et B, avec ses 12 votes de première position. Et B l’emportera si les préférences se maintiennent, puisque 37 personnes préfèrent B à A tandis que seulement 18 préfèrent A à B.

Mais il se peut que vous préféreriez que C soit élue.

En ce cas, voici une manière de faire en sorte que le résultat du vote favorise cette candidate — c’est cette fois un peu plus complexe. Vous proposerez qu’on élimine d’abord le candidat ayant reçu le moins de votes de première place, soit E et qu’on ajuste en conséquence les votes de première place. De cette manière, A reçoit toujours 18 votes, tandis que B en a 16; C en a 12 ; et D en obtient 9. Nous éliminons ensuite une nouvelle fois celui des quatre candidats restants qui a obtenu le moins de votes de première place (soit D) et ajustons de nouveau les votes en conséquences. C reçoit alors 21 voix. Nous éliminons encore les candidats avec le moins de voix. Et ainsi de suite. En bout de piste, C l’emporte.

Vous aimeriez que D l’emporte?

Faites valoir qu’il est bien peu démocratique de ne tenir compte que des votes de première place et que les préférences telles qu’elles sont qu’ordonnées devraient être prises en considération. Pour cela, accordons 5 points à un vote de première place; 4 à un vote de deuxième place; et ainsi de suite, en accordant 1 point à un vote de cinquième place. En ce cas, D l’emporte avec ses 191, points obtenus de la manière suivante: (4 x 18) + (3 X 12) + (2 X 10) + (5 X 9) + (3 X 4) + (3 X 2) = 191.

La victoire de E vous arrangerait? Proposez ceci, que Condorcet favorisait.

Le gagnant, direz vous, est celui ou celle qui l’emporte quand on met en compétition deux candidats l’un contre l’autre. Dans ce cas, E l’emporte contre tous les autres et il mérite donc d’être déclaré gagnant — on dit de E qu’il est le «gagnant de Condorcet».

Les nombres ont été ici sciemment pensés (par le mathématicien contemporain William F. Lucas s’inspirant des travaux de Jean-Charles Borda (1733 -1799) et de Condorcet — j’ai suivi pour ma part l’exposé qu’en donne John Allen Paulos dans : Beyond Numeracy, Vintage Books, New York, 1992, pages 262-265.) pour produire les effets qu’on a vus et les cas de figure ne sont pas toujours aussi dramatiques, bien entendu.

Mais cet exemple montre bien les redoutables problèmes que l’on rencontre quand on cherche à choisir un système électoral et à déterminer ce qu’est, exactement, le choix collectif. Quel que soit le système retenu, il sera possible qu’il introduise de telles anomalies. Et comme Arrow l’a montré, dès lors que les conditions qu’il énonçait sont satisfaites, il n’existe pas de méthode infaillible de dérivation des choix collectifs en agrégeant les préférences individuelles.

De quoi rester un moment sagement dubitatif quand des politiciens invoquent l’intérêt de la nation, des économistes la loi du marché, des publicitaires ce que désirent les québécois ou des administrateurs la volonté de la communauté universitaire.

Et mille autres choses encore, bien entendu.

http://nbaillargeon.blogspot.com/2009/01/dmocratie-et-choix-collectifs.html